[2015년 백석고]

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[2학년 1학기 중간 확률과 통계]

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 두 눈의 수의 차가 [eqn: 2] 또는 [eqn: 4]가 되는 경우의 수는? [4.2점]

⑤

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

등식 [eqn: {} _{7} rm P _{4} `=7 TIMES it rm _{n} rm P _{3}] 이 성립할 때, 자연수 [eqn: n]의 값은? [4.2점]

③

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE]가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 5]장의 카드가 있다. 이 카드를 모두 사용하여 일렬로 나열할 때, 다음 두 조건을 모두 만족시키는 경우의 수는? [4.5점]

①

(가) [eqn: rmB]는 반드시 [eqn: rmC]보다 오른쪽에 놓인다.

(나) 모음이 적힌 카드끼리는 이웃하지 않게 놓인다.

① [eqn: 36]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 72]	⑤ [eqn: 96]

그림과 같은 직사각형 모양의 탁자에 [eqn: 6]명이 둘러앉는 방법의 수는? [4.5점]

②

① [eqn: 120]	② [eqn: 360]	③ [eqn: 480]

④ [eqn: 600]	⑤ [eqn: 720]

[eqn: 3]개의 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 5]개를 뽑아 다섯 자리의 자연수를 만들 때, [eqn: 21000] 이상의 [eqn: 3]의 배수의 개수는? (단, 뽑히지 않는 숫자가 있을 수 있다.) [5.0점]

④

① [eqn: 20]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 48]

④ [eqn: 54]	⑤ [eqn: 60]

그림과 같은 정십각형의 세 꼭짓점을 이어서 삼각형을 만들 때, 정십각형과 어느 변도 공유하지 않는 삼각형의 개수는? [4.8점]

②

① [eqn: 40]	② [eqn: 50]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 70]	⑤ [eqn: 80]

방정식 [eqn: x+y+z=10]을 만족시키는 양의 정수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,```y,```z RIGHT )]의 개수는? [4.5점]

①

① [eqn: 36]	② [eqn: 66]	③ [eqn: 96]

④ [eqn: 120]	⑤ [eqn: 286]

보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.8점]

①

ㄱ. [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC] 세 사람이 태어난 달이 모두 [eqn: 7]월이라고

할 때, 이 세 사람의 생일이 모두 같을 확률은

[eqn: {1} over {{} _{31} PI _{3}}]이다.

ㄴ. [eqn: 1 < k < n]인 자연수 [eqn: n], [eqn: k]에 대하여

[eqn: S LEFT ( n,```k RIGHT ) =S LEFT ( n-1,```k-1 RIGHT ) +k cdot S LEFT ( n-1,```k RIGHT )]

이다.

ㄷ. 서로 같은 [eqn: 4]인용 오리보트가 [eqn: 5]대 있을 때,

[eqn: 7]명의 학생이 [eqn: 3]대 이하의 오리보트에 나누어

타는 방법의 수는 [eqn: S LEFT ( 7,```3 RIGHT ) +S LEFT ( 7,```2 RIGHT )]이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄷ

[eqn: 4]쌍의 신혼부부 총 [eqn: 8]명이 비행기로 제주도에 가기 위해 탑승권을 사려고 한다. 현재 좌석이 남아 있는 비행기는 총 [eqn: 3]대로, 남은 좌석의 수는 각각 [eqn: 2]개, [eqn: 2]개, [eqn: 4]개다. 부부끼리는 반드시 같은 비행기를 탄다고 할 때, 이들 [eqn: 8]명이 서로 다른 세 대의 비행기의 좌석에 나누어 타는 방법의 수는? (단, 같은 비행기를 탄 승객이어도 좌석이 다르면 다른 경우로 본다.) [4.8점]

⑤

① [eqn: 210]	② [eqn: 288]	③ [eqn: 420]

④ [eqn: 576]	⑤ [eqn: 1152]

[eqn: 4]명의 학생이 다 같이 가위바위보 게임을 할 때, 나올 수 있는 모든 경우의 수를 [eqn: a], 비기는 경우의 수를 [eqn: b]라고 할 때, [eqn: a-b]의 값은? (단, [eqn: 4]명 중 어느 한 명의 승패도 결정되지 않을 때가 비기는 경우이다.) [4.8점]

④

① [eqn: 30]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 39]

④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 45]

[eqn: LEFT ( {2} over {x} -a RIGHT ) ^{8}]의 전개식에서 [eqn: {1} over {x ^{3}}]의 계수, 상수항, [eqn: {1} over {x ^{5}}]의 계수가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, 상수 [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: a > 0]) [4.8점]

⑤

① [eqn: root {4} of {56}]	② [eqn: 8 root {4} of {7}]	③ [eqn: 8 sqrt {14}]

④ [eqn: 16 sqrt {7}]	⑤ [eqn: 2 root {4} of {56}]

이항정리에 대한 설명으로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.8점]

⑤

ㄱ. 아래와 같은 파스칼의 삼각형의 가로줄을

위에서부터 차례대로 제[eqn: 1]행, 제[eqn: 2]행, [eqn: CDOTS]이라

할 때, 제[eqn: 1]행부터 제[eqn: 8]행까지의 모든 수의 합은

[eqn: 2 ^{8} -1]이다.

[eqn: {} _{0} rmC _{0}]

[eqn: {} _{1} rmC _{0} `````````` _{1} C _{1}]

[eqn: {} _{2} rmC _{0} `````````` _{2} C _{1} `````````` _{2} C _{2}]

[eqn: {} _{3} rmC _{0} `````````` _{3} C _{1} `````````` _{3} C _{2} `````````` _{3} C _{3}]

[eqn: VDOTS]

ㄴ. [eqn: sum _{k=0} ^{9} ` _{9} {rmC} _{k} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{9-k} LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{k} - sum _{k=0} ^{7} ` _{7} {rmC} _{k} LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{7-k} LEFT ( {7} over {5} RIGHT ) ^{k}]의

값은 [eqn: 3 cdot2 ^{7}]이다.

ㄷ. [eqn: {} _{8} rmC _{0} - _{8} C _{1} + _{8} C _{2} - _{8} C _{3} +` CDOTS `- _{8} C _{7} + _{8} C _{8} =0]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: k]가 [eqn: 10] 이하의 자연수일 때, 원 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =2]가 직선
[eqn: y=- {1} over {2} x+k]와 서로 다른 두 점에서 만날 확률은? [4.8점]

④

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {2} over {5}]	③ [eqn: {3} over {10}]

④ [eqn: {1} over {5}]	⑤ [eqn: {1} over {10}]

확률에 대한 설명으로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.5점]

③

ㄱ. 표본공간 [eqn: S]의 임의의  사건 [eqn: A]에 대하여

[eqn: 0 <{rm P}(A) < 1]이다.

ㄴ. 서로 배반인 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: {rmP}(A)= {2} over {7}],

[eqn: {rmP} LEFT ( A ^{c} SMALLINTER B ^{c} RIGHT ) = {1} over {5}]일 때, [eqn: {rmP}(B)= {18} over {35}]이다.

ㄷ. 표본공간 [eqn: S]의 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 사건 [eqn: B]가

[eqn: A]의 여사건이면, [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 배반사건이다.

① ㄴ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

철수와 영희가 주사위 게임에 참여했다. 게임 진행자가 한 개의 주사위를 [eqn: n]번 던져서 [eqn: 3]의 눈이 적어도 한 번 나오면 철수가 이기고, 그렇지 않을 경우에는 영희가 이긴다. 이 때, 철수가 유리하도록 하기 위한 자연수 [eqn: n]의 최솟값은? (단, [eqn: log2=0.30], [eqn: log3=0.5]로 계산한다.) [5.0점]

②

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

서술형

집합 [eqn: X= LEFT { 1,```2,```3,```4 RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { 3,```4,```5,```6,```7,```8 RIGHT }]에 대하여 다음 물음에 답하시오. [8점]

(1) [eqn: 126]

(2) [eqn: 25]

(1) [eqn: X]의 임의의 원소 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}]에 대하여 [eqn: x _{1} > x _{2}]이면

[eqn: f LEFT ( x _{1} RIGHT ) LEQ f LEFT ( x _{2} RIGHT )]를 만족시키는 함수 [eqn: f:X -> Y]의 개수를

구하고, 그 과정을 서술하시오. [2점]

(2) [eqn: X]의 임의의 원소 [eqn: x _{1}]에 대하여 [eqn: g LEFT ( x _{1} RIGHT ) != x _{1}]이고,

[eqn: LEFT | g LEFT ( 1 RIGHT ) -g LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT | = LEFT | g LEFT ( 2 RIGHT ) -g LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT |]을 만족시키는 일대일함수

[eqn: g:X -> Y]의 개수를 구하고, 그 과정을 서술하시오. [6점]

자연수 [eqn: 6]을 [eqn: 3]개의 자연수로 분할한 것을 아래 그림과 같이 나타낼 수 있는데, 이를 페러스다이어그램(Ferreres diagram)이라고 한다. 다음 물음에 답하시오. [총 8점]

(1) [eqn: 4]

(2) [eqn: 10]

[eqn: 4+1+1]

[eqn: 3+2+1]

[eqn: 2+2+2]

(1) 자연수 [eqn: 8]을 [eqn: 2]개의 자연수의 합으로 분할하는 방법의

수를 구하고, 위의 그림과 같이 나타내시오. [4점]

(2) 자연수 [eqn: 8]의 분할 중에서 각 분할을 이루는 수가 모두

[eqn: 3] 이하인 자연수의 합으로 나타내어지는 서로 다른

분할의 수를 구하고, 그 과정을 페러스다이어그램을

이용하여 서술하시오. [4점]

[eqn: LEFT ( 1+i RIGHT ) ^{10}]의 전개식을 이용하여
[eqn: {} _{10} rmC _{1} - _{10} C _{3} + _{10} C _{5} - _{10} C _{7} + _{10} C _{9}]
의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) [6점]

[eqn: 2^5]

집합 [eqn: M= LEFT { m`|`-30 LEQ m LEQ 30,```m은```정수 RIGHT }]의 원소 [eqn: m]에 대하여 이차방정식 [eqn: 15x ^{2} -mx-6m ^{2} =0]의 근이 정수일 확률을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [8점]

[eqn: 5over61]

[2015년 백석고]

[2학년 1학기 중간 확률과 통계]

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